Гармоническая линеаризация

Рассмотрим систему, включающую нелинейное звено Н (рис. 1.6). На вход этого звена подается гармоническое возмущение с амплитудой а и частотой со. В цепи имеются также линейные звенья с общей передаточной функцией W.\ Предположим, что линейные звенья расположены после нелинейного. Разомкнем исследуемую структурную схему. На вход нелинейного элемента поданы колебания хг —a sin со/. На его выходе возникают периодические колебания х = Ф (a sin со/). Эти колебания в общем случае отличаются от синусоидальных. Они содержат весь спектр гармоник. Эти негармонические колебания поступают на вход линейной части системы. Проходя ее, первая и высшие гармоники изменяют свои амплитуды соответственно раз, где ю, 2 со, Зсо, ... —частоты первой и последующих гармоник. Выходная величина вых. линейной части системы при этом представляет собой в общем случае периодические колебания, содержащие все эти гармоники. В большинстве случаев модули | W (ш) | амплитудно-фазовой характеристики линейных звеньев существенно уменьшаются с повышением частоты со. Вследствие этого высокочастотные высшие гармоники входного сигнала, проходя линейную часть системы, убывают по амплитуде в значительно большей мере, чем первая, т. е. линейная часть системы является фильтром высоких частот. Это свойство линейной части системы позволяет во многих случаях ограничиваться первой гармоникой в разложении функции Ф (a sin со/) в ряд Фурье. Это равносильно допущению синусоидальных колебаний на выходе из нелинейного элемента. Тогда величина представляет собой криволинейный интеграл, взятый по периметру петли гистерезиса, образованной нелинейной характеристикой. Эта величина численно равна площади петли, образуемой характеристикой нелинейного элемента.
Назовем величину эквивалентным комплексным коэффициентом передачи нелинейного звена. Ее модуль | J | = У g2 + b2 показывает, во сколько раз амплитуда первой гармоники на выходе нелинейного звена больше амплитуды входного сигнала. Аргумент 0 = arctg {big) определяет разность фаз первой гармоники выходного сигнала и синусоидального входного сигнала нелинейного звена. Из формул (1.8) следует, что коэффициенты g и b не зависят от частоты со, а определяются амплитудой входного сигнала а. Поэтому эквивалентный комплексный коэффициент передачи является также функцией амплитуды J (а).
Уравнение» нелинейного звена может быть заменено приближенным линейным уравнением х = Jxx. Изложенный метод линеаризации называется методом гармонического баланса или гармонической линеаризацией.
В наших рассуждениях ничто не изменится, если перед нелинейным звеном разместить цепь линейных звеньев с передаточной функцией HV (<•>). Это объясняется тем, что при гармоническом воздействии «вх» на входе в эту цепь на ее выходе перед нелинейным звеном также будут гармонические колебания «xv» В цепи, имеющей перед нелинейным звеном и за ним группы линейных звеньев с передаточными функциями Wt и W2, выходная величина определится из уравнения
Таким образом, линейные звенья, стоящие до и после нелинейного элемента, можно объединять, выделяя линейную часть системы.
На комплексной плоскости величина J (а) может быть представлена вектором, модуль которого | J | (а) и фаза 0 (а). Годограф этого вектора, построенный для различных амплитуд входного сигнала, называется амплитудной характеристикой нелинейного звена.
Если для заданного значения амплитуды а вектор J (а) умножить на векторы АФХ линейной части, то получим АФХ разомкнутой нелинейной системы, пользуясь которой можно по критерию Найквиста — Михайлова судить о поведении замкнутой системы. Поскольку для различных амплитуд а векторы J (а) различны, неодинаковыми будут и АФХ разомкнутой нелинейной системы. При этом может оказаться, что при одних значениях амплитуд АФХ нелинейной системы не охватывает на комплексной плоскости критическую точку —1, ДО, а при других —охватывает ее. Таким образом, нелинейная система, устойчивая при одних значениях а, может оказаться неустойчивой при других.
Автоколебания представляют собой незатухающие периодические движения, возникающие в нелинейной системе. Согласно критерию Найквиста — Михайлова, такие движения могут возникнуть, если АФХ нелинейной системы проходит через точку —1, ДО, т. е. W (iw) J (а) = —1. Таким образом, автоколебания имеют место при W (гсо) = —1IJ (а), или —J (а) = 1/W (ш) = Ц робр (гсо). Пересечение АФХ линейной части с обратной амплитудной характеристикой нелинейного звена, взятой с противоположным знаком, определяет частоту и амплитуду возможных автоколебаний. Для определения параметров автоколебаний можно воспользоваться также амплитудной характеристикой J (а) нелинейного звена и обратной АФХ линейной части №обр (ш). Если эти характеристики не пересекаются, автоколебания отсутствуют.
Амплитудные характеристики некоторых типовых нелинейных звеньев приведены в таблице.
Определив условия возникновения и параметры автоколебаний, надо решить вопрос об устойчивости полученных автоколебаний. Пусть амплитуда автоколебаний равна ах. Увеличим амплитуду входного сигнала а. Если при этом \ W (т) J (а) | <1, т. е. АФХ разомкнутой нелинейной системы не охватывает критическую точку —1, ДО, то в замкнутой системе амплитуда колебаний будет уменьшаться, приближаясь к величине ах. Уменьшим амплитуду входного сигнала до величины ниже ах. Если при этом | W (ш) J (а) | > 1, т. е. АФХ разомкнутой системы охватывает критическую точку, то амплитуда колебаний в замкнутой системе будет увеличиваться, приближаясь к ах. Сама система при этом будет препятствовать отклонениям амплитуды входного сигнала от величины Автоколебания устойчивы.
Если же при а > ах имеем | W (гсо) J (а) | > 1, а при а < % это же произведение по абсолютной величине меньше единицы, то при случайном отклонении амплитуды входного сигнала от величины система не вернется к автоколебательному режиму. В этом случае автоколебания неустойчивы.