Нормальные формы записи

Стандартизованные формы записи выражений называются в математике нормальными формами. Для определенных целей необходимо логические функции приводить в нормальную форму.

Нормальная форма операции логического сложения «ИЛИ»

Нормальная форма записи логического сложения ИЛИ, также называемая нормальной дизъюнктивной формой записи (от дизъюнкция — сложение), является формой записи уравнения алгебры логики, в котором так называемые полные конъюнкции связаны друг с другом операцией логического сложения.
Под полной конъюнкцией понимают операцию логического умножения, в которой участвуют все имеющиеся переменные или их инвертированные значения (от конъюнкция — умножение).
Если имеются переменные А и В, то получаются четыре возможные полные конъюнкции:
Нормальная форма ИЛИ состоит из нескольких полных конъюнкций, которые логически складываются операцией ИЛИ. Она может состоять также из одной-единственной полной конъюнкции.
Все возможные логические функции могут быть записаны в виде нормальной формы ИЛИ.
Каждая нормальная форма ИЛИ имеет тесную связь с таблицей истинности. Покажем это на нескольких примерах.
Найдем таблицу истинности Zx = (^a5)v(^a5). Она представлена на рис. 5.4. Видно, что Z1 имеет два 1-состояния, а именно в случаях 1 и 4.

Рис. 5.4. Таблица истинности для Zv

Теперь рассмотрим таблицу истинности для Z2 = (А а i?) V ^А А В^ V ^А А 5) на рис. 5.5. Z2 имеет три 1-состояния.

Таблица истинности для Z3 = (А а В) изображена на рис. 5.6. Z3 имеет одно 1-состояние. Из этого можно сделать вывод:
Количество 1-состояний в выходном столбце таблицы истинности (в данном случае Z-столбец) равно количеству полных конъюнкций нормальной формы ИЛИ.
Итак, вероятно, каждой 1 в Z-столбце соответствует полная конъюнкция. Рис. 5.8 подтверждает это утверждение. Мы имеем четыре возможных 1-состояния и четыре полных конъюнкции. Какая полная конъюнкция относится к какому 1-состоянию?
1-состояние полной конъюнкции А а В получается из таблицы на рис. 5.6. Таблица истинности полной конъюнкции А а В показана на рис. 5.7. Можно сделать вывод:
Если в рассмотренном варианте таблицы истинности переменная принимает значение 0, то в соответствующей полной конъюнкции она инвертируется. Если в рассмотренном варианте таблицы истинности переменная принимает значение 1, то в соответствующей полной конъюнкции она не инвертируется.

Соответствие полных конъюнкций возможным 1-состояниям показано на рис. 5.8.
Каждому 1-состоянию в выходном столбце (Z-столбце) таблицы истинности соответствует полная конъюнкция.
При нескольких полных конъюнкциях нормальная форма ИЛИ получается посредством логического сложения ИЛИ полных конъюнкций.
При этом становится ясной взаимосвязь между таблицей истинности и нормальной формой ИЛИ, и для любой таблицы истинности мы можем записать соответствующую нормальную форму ИЛИ.
Нормальная форма ИЛИ представляет информационное содержание таблицы истинности в виде уравнения алгебры логики.
Пример -----------------------------------------------
Дана таблица истинности на рис. 5.8а. Определить соответствующую нормальную форму ИЛИ. Каждое 1-состояние в Z-столбце соответствует полной конъюнкции. 0-состояния в Z-столбце можно не рассматривать.
Рассмотрим вариант 2 на рис. 5.8а. Переменная А равна 1. Поэтому она не инвертируется в полной конъюнкции. Переменные величины В и С равны 0. Они инвертируются в полной конъюнкции. Таким образом, полная конъюнкция для варианта 2 равна:
А а В л С.
Соответственно для варианта 5 полная конъюнкция АаВаС, а для варианта 8 полная конъюнкция А а В а С.
Нормальная форма ИЛИ является суммой всех полных конъюнкций:
Z = [А а В а С) v {А а В а С) v (А а В а С).
Эта нормальная форма ИЛИ представляет содержание таблицы истинности, изображенной на рис. 5.8а. Как и любое другое уравнение алгебры логики, нормальную форму можно преобразовать в таблицу истинности. Для выведенной нормальной формы получается таблица истинности (рис. 5.8а). Это можно проверить. Результат показан на рис. 5.9.
С помощью нормальной формы ИЛИ возможно для любой заданной или составленной по описанию проблемы таблицы истинности записать соответствующее уравнение алгебры логики. Метод подбора уже не нужен. Теперь можно без особых трудностей осуществлять синтез достаточно сложных логических схем.

Рис. 5.9. Обратное преобразование нормальной формы "ИЛИ" в таблицу истинности

Нормальная форма операции логического умножения «И»

Нормальная форма записи лошческого умножения И, также называемая нормальной конъюнктивной формой записи (от конъюнкция — умножение), является формой записи уравнения алгебры логики, в котором так называемые полные дизъюнкции связаны друг с другом операцией логического умножения.
Под полной дизъюнкцией понимают операцию логического сложения, в которой участвуют все имеющиеся переменные или их инвертированные значения (от дизъюнкция — сложение).
Если имеются две переменные, например А и В, то получаются четыре возможные полные дизъюнкции:
АлВ
АлВ
АлВ
АлВ
Нормальная форма И состоит из нескольких полных дизъюнкций, которые логически перемножаются операцией И. Она может состоять также из одной -единственной полной дизъюнкции.
Если работа с нормальной формой ИЛИ не вызывает затруднения, то нормальная форма И уже не особенно нужна. Нормальную форму И можно легко преобразовать в нормальную форму ИЛИ.
Пример --------------------------------------------------------------
Переведите нормальную форму И Z = [А л B^j v (А а В} в нормальную форму ИЛИ:
Z = (АчВ)л(Ач В)\
Z = (AvB)a(Av в);
Z = (AvB)v(Av в);
Z = (A a 2J)v (а а в); Z = (а л B)v (А л в).

Похожие статьи