Функции «И-НЕ» и «ИЛИ-НЕ»

Алгебра логики построена на трех основных логических операциях — И, ИЛИ и НЕ. На элементах, выполняющих эти операции, можно реализовать любую логическую функцию. Поэтому элементы И, ИЛИ и НЕ называются основными.
Из первой теоремы де Моргана следует, что элемент логического умножения всегда может быть заменен элементом ИЛИ и несколькими элементами НЕ:
А А В = А v В — первая теорема де Моргана
А а В = A v В;
А а В = Av В.
Это означает, что без элементов И можно обойтись. Отсюда следует правило:
Любая логическая функция может быть реализована только на элементах ИЛИ и НЕ.
Вентили ИЛИ и НЕ можно реализовать на элементах ИЛИ-HE (рис. 4.21). Если соединить входы элемента ИЛИ-HE вместе, то получится элемент НЕ. Элемент ИЛИ получается путем инвертирования выхода ИЛИ-HE. Для этого к выходу элемента ИЛИ-HE последовательно подключается еще один элемент ИЛИ-HE, который действует как элемент НЕ (рис. 4.21).
Вентиль И может быть образован согласно уравнению, следующему из первой теоремы де Моргана:
А а В = A v В.

Для получения А и В применяют два элемента ИЛИ-НЕ. Для логической операции сложения используется еще один элемент ИЛИ-НЕ (рис. 4.22).
Итак, если основные логические элементы ИЛИ, НЕ, И можно реализовать только на элементах ИЛИ-НЕ, то это значит, что любую возможную логическую функцию также можно реализовать только на элементах ИЛИ-НЕ.
Любая логическая функция может быть реализована только на элементах ИЛИ-НЕ.
Элементы ИЛИ-НЕ можно использовать как универсальные логические элементы.
Из второй теоремы де Моргана следует, что логический элемент ИЛИ может быть заменен логическим элементом И и несколькими элементами НЕ:
Av В = А л В — вторая теорема де Моргана
Av В = А а В;
Av В = А л В.
Это означает, что без элементов ИЛИ можно обойтись. Отсюда следует правило:
Любая логическая функция может быть реализована только на элементах И и НЕ.
Вентиль НЕ можно реализовать на элементах «И-НЕ». Если соединить входы элемента «И-НЕ» вместе, то получится элемент НЕ. Элемент И получается путем последовательного включения элемента И-НЕ и еще одного элемента И-НЕ, который действует как элемент НЕ (рис. 4.23).
Вентили ИЛИ также можно реализовать на элементах «И-НЕ». Из второй теоремы де Моргана следует:
Av В = А а В.

Для реализации вентиля ИЛИ требуются два элемента «И-НЕ», включенные как элементы НЕ. Еще один последовательно включенный элемент «И-НЕ «используется для логического умножения с инверсией (рис. 4.24).
Итак, если основные логические элементы ИЛИ, НЕ, И можно реализовать только на элементах И-НЕ, то любую возможную логическую функцию также можно реализовать только на элементах И-НЕ.
Любая логическая функция может быть реализована только на элементах «И-НЕ».
Элементы И-НЕ, так же как и элементы ИЛИ-HE, можно использовать как универсальные логические элементы.
Для синтеза цифровых схем только на элементах «И-НЕ» или «ИЛИ-НЕ» часто требуется многошаговое преобразование уравнений алгебры логики. Такие преобразования могут быть произведены разными способами. Путь, обычно ведущий к цели кратчайшей дорогой, начинается с операции двойного отрицания. Двойное отрицание не меняет результат выражения.
Пример------------------------------------------------------------
Преобразуйте уравнение так, чтобы соответствующая схема содержала только элементы И-НЕ.
Z = (AaBaC)v(AaBaC);
Z = {АаВаС^а{АаВаС^.
Синтезированная на основе преобразованного уравнения схема показана на рис. 4.25.
Пример ----------------------------------------------------------
Преобразуйте уравнение Z = {А а В а С) v (а а В а С) так, чтобы соответствующая схема содержала только элементы ИЛИ-НЕ.
Z = {А а В а С) v (А а В а С);

Синтезированная на основе преобразованного уравнения схема показана на рис. 4.26.
На практике часто возникают трудности при преобразовании алгебраических уравнений в логические операции И-НЕ и ИЛИ-HE. Есть способ избежать этих преобразований. В схеме, построенной из основных элементов, отдельные основные элементы можно заменить элементами И-НЕ и ИЛИ-HE, как указано на рис. 4.21, 4.22, 4.23 и 4.24.
При этом получаются более сложные схемы, которые, тем не менее, легко упрощать. Так, например, часто встречаются два следующих друг за другом вентиля НЕ. Эти вентили можно вычеркнуть, так как их действия взаимно компенсируются (двойное инвертирование переменной не меняет ее). Вследствие этого схема значительно упрощается.
Пример такого упрощения показан на рис. 4.27. В верхней части рисунка
представлена схема, соответствующая функции Z = (А а В д С) v [А л В л С)
и состоящая из основных элементов. Преобразуем эту схему в схему, состоящую только из элементов И-НЕ. Для этого каждый основной элемент схемы заменяется соответствующим ему элементом И-НЕ.

 Последовательно включенные элементы НЕ можно вычеркнуть. В результате получается схема, функцию которой мы ранее определили расчетным путем (см. рис. 4.25). Этот способ всегда работает на практике, однако требует немного больше времени.

Примеры Аксиомы и теоремы алгебры логики

Аксиомы
Уравнения 16а и 17а являются расширением теорем де Моргана на любое число переменных.
В предыдущих уравнениях переменные А, В, С и D подразумевают, что на их месте может быть любая переменная. В качестве переменных могут также записываться выражения в скобках и функции многих переменных.
Примеры -----------------------------------------------------------------
Z = Ra 0 = 0;        (акс.      1)
Z = SaK = SvK’,  (уравн. 16)
Z = (Х aY) = T~aY = 1.      (акс.      8)
В последнем уравнении речь идет об операции ИЛИ над переменной и ее инвертированным значением. Переменной является выражение (1л Y).
Согласно уравнению 8 {A v А = l) Z равно 1.
Выражение в скобках рассматривается как одна переменная. Логическое сложение переменной с единицей дает в результате единицу (акс. 6):
Z = l.

Рис. 4.28. Таблица истинности для проверки результата
Сначала следует разбить длинную верхнюю черту отрицания на отрезки согласно уравнению 17. Двойные черты отрицания равной длины взаимно сокращаются и могут быть вычеркнуты (акс. 9). Черты отрицания над несколькими переменными равносильны скобкам:

Преобразуйте следующую функцию так, чтобы реализующая ее схема состояла только из элементов ИЛИ-НЕ.
X = А лС л В л R л S; X = (;4vC)a(Iv^vJ);
X = (А V с) л {В V R V S);
X = (AvC)a(Bv RvS);
X = AvC v В v Rv S;
X = Av С v Bv Rv S.
Контрольный тест
1. Назовите количество возможных постоянных величин в алгебре логики.
2. Как представляется переменная величина в алгебре логики? Какие логические операции можно производить с переменными?
3. Что такое переместительный закон?
4. Какое значение имеет распределительный закон?
5. Почему все возможные логические операции можно реализовать только на элементах И-НЕ?
6. Какая из двух логических операций имеет более высокий приоритет: И или ИЛИ?
7. Сформулируйте теоремы де Моргана.
8. Элементы И, ИЛИ или НЕ можно реализовать только на
а) вентилях И-НЕ,
б) вентилях ИЛИ-НЕ.
Нарисуйте соответствующие схемы.
9. Максимально упростите следующие выражения:
а) Z = АлВлАлАлВлС;
б) Y = AaBvAvCvAaBaC;
в) X = (А л В aC)v (А л В лС);
г) Q = A v В v С v [А а В л С) v (А л В) v (А а С);
д) S = AaBvBaCv(Aa В).
10. Преобразуйте следующие функции так, чтобы реализующая их схема состояла
1) только из элементов И-НЕ;
2) только из элементов ИЛИ-НЕ:
а) Z = (А л S a R) v (Q а С а В);
б) Y = AVB aCVD;
в) X = (AvBvC)a(MvNvP)a(RvS);
г) Q = [А а В^ v С v D a S v R;
д) Q = AaBaCaDvPaQaS.

Похожие статьи