Общая характеристика матричных методов расчета

Схемы современных электрических сетей энергосистем могут быть очень сложными. Число узлов в расчетных схемах отдельных энергосистем составляет 200—300, а для объединенных энергосистем доходит до 1000—1200. Расчет таких схем в целом вручную невозможен и может быть выполнен лишь с применением ЦВМ. В этих условиях целесообразно применение матричной алгебры и теории графов, позволяющих компактно записывать зависимости между электрическими параметрами сети и создавать быстродействующие алгоритмы расчета.
Теоретические основы матричных методов расчета установившихся режимов электрических систем подробно изложены в работах. Поэтому здесь приведем лишь их общую характеристику и дадим некоторые рекомендации по применению в проектных расчетах.
При аналитическом представлении схемы сети требуется строгая нумерация ветвей, узлов и независимых контуров. Кроме того, каждая ветвь схемы должна иметь фиксированное направление, которое выбирается произвольно. Знаки токов (мощностей) и э.д.с. каждой ветви ориентируются относительно, зафиксированного для нее направления.
При проектировании сети нагрузки узлов, как правило, задают мощностями. Описание режима сети с помощью этих мощностей приводит к системе нелинейных уравнений, решение которых затруднительно. Поэтому большое распространение получили также матричные методы, использующие линейные уравнения, в которых мощности узлов заменяются токами.
Если нагрузка узла задана в виде мощности: то в обобщенной форме сразу для всей сети можно записать:
где Sy — столбцовая матрица мощностей в узлах; иу.д — диагональная матрица напряжений в узлах; 1У — столбцовая матрица токов в узлах.
При использовании матричных уравнений нагрузки узлов удобно представлять в виде задающих токов, равных по величине и противоположно направленных по сравнению с фактическими токами.
Таким образом, зная мощности в узлах Sy, по выражению можно вычислить задающие токи при некоторых начальных приближениях напряжений в узлах. Введя матрицу J в линейную систему уравнений, составленную для расчета режима, вычисляют матрицу напряжений в узлах, по которым затем уточняют задающие токи.
Режим сети полностью описывается уравнениями, характеризующими первый и второй законы Кирхгофа: где M — первая матрица соединений, прямоугольная, размером уХв (у — число узлов; в — число ветвей); N — вторая матрица соединений, прямоугольная, размером кХв (к — число независимых контуров); I — столбцовая матрица токов в ветвях; Z„ — квадратная матрица сопротивлений ветвей, которая при отсутствии взаимных сопротивлений между ветвями является диагональной; Uz — столбцовая матрица падений напряжений на сопротивлениях
отдельных ветвей; Ёк — столбцовая матрица контурных э.д.с.;
Е — столбцовая матрица э.д.с. в ветвях.
В обобщенном виде для схемы сети может быть также записан закон Ома:
где UB — столбцовая матрица напряжений на ветвях, т. е. напряжений между началом и концом каждой ветви.
Из уравнений (7.26) — (7.28) можно получить «прямое» решение в следующем виде:
Недостаток уравнений (7.29) и (7.30) заключается в том, что матрицы А и В имеют большой размер, в них число строк и столбцов равно числу ветвей. Кроме того, целесообразно иметь сразу решение относительно напряжений узлов, а не относительно напряжений на ветвях UB.
Уравнения, характеризующие законы Кирхгофа и Ома, позволяют получить матричное уравнение узловых напряжений: где Yy — квадратная матрица узловых проводимостей; Од — матрица напряжений в узлах относительно напряжения опорного узла 0„:
Матрица узловых проводимостей
где Мt — транспонированная первая матрица соединений, берется вместо матрицы М в том случае, если опорный узел не совпадает с балансирующим узлом.
Для нахождения матрицы М' записывается матрица М с учетом всех узлов, а затем строка, соответствующая опорному узлу, вычеркивается.
Зная матрицу Од, можно определить матрицу токов в ветвях по выражению
Используя выражение (7.25), запишем уравнение узловых напряжений (7.35), выраженное через матрицу мощностей в узлах:
Матрицу Yy нет необходимости вычислять по сложному выражению (7.33). Она составляется по следующему правилу: на главной диагонали располагается сумма проводимостей ветвей, связанных с узлом, которому соответствует данный элемент диагонали. Остальные элементы — это проводимости между узлами, которые соответствуют пересекаемым в данном элементе строке и столбцу, взятые со знаком минус.
Прямое решение узлового и контурных уравнений связано с трудоемкой операцией — обращением матриц Yy и ZK. Поэтому на практике для решения уравнений широко используются итерационные методы. Для решения линейных уравнений часто применяется метод ускоренной итерации, а для нелинейных — метод Ньютона — Рафсона.
На базе узловых и контурных уравнений разработано много модификаций методов расчета установившихся режимов, цель которых — упростить преобразования матриц и операции над ними и в конечном счете сократить затраты машинного времени для получения результатов расчета.