Уравнения узловых напряжений

Составим уравнения узловых напряжений для схемы сети, изображенной на рис. 7.1, рассматривая ее ветви как четырехполюсники. Для ветви 1—2 имеем
Решение системы нелинейных уравнений узловых напряжений типа в принципе возможно классическими точными методами алгебры. Однако это очень сложно, тем более, что в уравнениях имеются комплексные и сопряженные значения неизвестных. Прежде всего необходимо произвести преобразования с целью устранения мнимости неизвестных напряжений узлов. Затем систему уравнений можно свести к уравнению с одним неизвестным более высокого порядка. Из-за своей чрезвычайной сложности точные методы для решения рассматриваемых уравнений не представляют практического интереса. Поэтому обычно в таких случаях обращаются к методам последовательных приближений. Для решения уравнений узловых напряжений получил распространение метод итерации.
Найдем из первого уравнения системы напряжение узла, для которого составлено это уравнение: где р — номер узла, для которого рассчитывается напряжение; q — номера узлов, непосредственно связанных ветвями с узлом р; Yqp — проводимости ветвей, примыкающих к узлу р; Урр — собственная проводимость.
Достаточным условием сходимости простой итерации является неравенство.
Однако для большинства уравнений системы вида (7.7) это условие не выполняется. Поэтому сходимость при решении уравнений узловых напряжений вида (7.7) методом простой итерации в общем случае не может быть обеспечена, а процесс по методу Зейделя получается медленно сходящимся. Для достижения сходимости некоторые авторы применяют метод Зейделя с ускоряющими коэффициентами. Другой возможный путь преодоления указанных трудностей — изыскание более благоприятных видов уравнений узловых напряжений. Так, предложенная X. Ф. Фазыловым форма уравнений узловых напряжений, по мнению ее автора, более эффективна для режимных расчетов электрических сетей, чем рассмотренные выше системы уравнений.
Ниже выводится эта форма уравнений узловых напряжений, обеспечивающая удовлетворительную сходимость процесса итерации.